已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任做一条与抛物线y=ax^2（a>0）交于两点的直线，设交点分别为A,B。若角AOB=90度.
（1）判断A,B两点纵坐标是否为一个确定的值，并说明理由（请附详细过程）
（2）确定抛物线y=ax的平方（a>0）的解析式（请附详细过程）
（3）当三角形AOB的面积为4根号2时，求直线AB的解析式（请附详细过程）











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已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任做一条与抛物线y=ax^2（a>0）交于两点的直线，设交点分别为A,B。若角AOB=90度.
（1）判断A,B两点纵坐标是否为一个确定的值，并说明理由（请附详细过程）
（2）确定抛物线y=ax的平方（a>0）的解析式（请附详细过程）
（3）当三角形AOB的面积为4根号2时，求直线AB的解析式（请附详细过程）

解：(1)y=ax²≥0 开口向上.
过点P(0,2)任做一条与抛物线y=ax² (a>0)交于两点的直线
当直线垂直于x轴时只有一个交点,故斜率存在.
设直线AB为y=kx+2
代入抛物线：ax²-kx-2=0
A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2
则x1,x2是方程的两个实根
x1+x2=k/a x1x2=-2/a
y1y2=ax1²ax2²a²(x1x2)²a²(-2/a)²=4
只能确定纵坐标的乘积是定值.

(2)当直线AB//x轴时,由抛物线的对称性可知A、B两点关于y轴对称
又角AOB是直角,
所以三角形AOB为等腰直角三角形.
AP=AB=OP=2,B(2,2)
又抛物线过B(2,2)
解得a=1/2
所以y=x²/2

(3)作AE⊥y轴于E,BF⊥y轴于点F.
AE=MO, FB=ON
因为S△AOB=S△AOP+S△BOP=1/2·2(x2-x1)=x2-x1
x2-x1=√[(x1+x2)²-4x1x2]=2√(k²+4)=2√2
解得k=±2
所以直线为y=±2x+2.