已知点M（p，q）在抛物线y=x^2-1上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x^2-2px+q=0的两根（如图）。（1）当M在抛物线上移动时（半径不变），圆M在x轴上截得的弦长是否变化，为什么？（2）若圆M与x轴的两个交点和抛物线顶点C构成一个等腰三角形，试求p,q的值。

（1）点M(p,q)在抛物线y=x²-1上--->q=p²-1
xA,xB是关于x的方程x²-2px+q=0的两根--->xA+xB=2p,xAxB=q
|AB|²=(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=(2p)²-4q=4p²-4(p²-1)=4
--->|AB|=2，弦长AB不变

（2）△ABC是等腰三角形, 顶点C(0,-1)
--->设：xA=p-1,xB=p+1
1) |AC|=|BC|--->C点在AB的中垂线上--->M=C--->p=0,q=-1
2) |AC|=|AB|=2--->(xA)²+1=4--->xA=±√3--->p=±√3+1,q=4±2√3
3) |BC|=|AB|=2--->(xB)²+1=4--->xB=±√3--->p=±√3-1,q=4±2√3
综上，共有5组解