设M,N,P,Q依次为AB,BC,CD,DA的中点, 则MN∥AC∥PQ,MN=0.5AC=PQ,
∴ 四边形MNPQ是平行四边形, MQ=NP=0.5BD.
由幂平均不等式(MN^2+MQ^2)/2≥[(MN+MQ)/2]^2,
∴ AC+BD=2(MN+MQ)≤√[2(MN^2+MQ^2)],当且仅当MN=MQ,即四边形MNPQ是菱形时,AC+BD有最大值2MN.此时AC=BD, AC+BD的最大值=2AC(或2BD).
∴ 当空间四边形ABCD的对角线AC与BD相等时,其和AC+BD最大,最大值是一条对角线长的2倍.
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