问题: 一道高二数学题
点A(X1，Y1) B(X2,Y2)是曲线Y^2=2PX(P>0)上两点，且OA⊥OB (O为坐标原点)
（1）求证:Y1Y2是定值
（2）求证:直线AB经过一个顶点
（3）求原点O在直线AB上的射影M的轨迹
解答:
点A(X1，Y1) B(X2,Y2)是曲线Y^2=2PX(P>0)上两点
==> A(Y1^2/2P,Y1), b(Y2^2/2P,Y2)
1. OA⊥OB: [Y1/(Y1^2/2P)]*[Y2/(Y2^2/2P)] = -1
==> Y1*Y2 = -4P^2 = 定值
2. 直线AB: (y -Y1)/(x -Y1^2/2P) =(Y2 -Y1)/(Y2^2/2P -Y1^2/2P)
==> 2Px =(Y1+Y2)y +4P^2 ==> 直线AB恒经过定点(2P,0)
3. 原点O在直线AB上的射影M(a,b)
b/a = -1/直线AB斜率 = -(Y1+Y2)/2P
2Pa =(Y1+Y2)b +4P^2 = -(2Pb/a)b +4P^2
(a -P)^2 +b^2 =P^2
==> 射影M的轨迹: (x -P)^2 +y^2 =P^2
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