设x,y∈R,向量i，向量j为直角坐标平面内x,y轴正方向上单位向量，a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,设OM=xi+yj
(1)求M点轨迹方程
（2）过点（0，3）作直线l与M点的轨迹交于A,B两点，设OP=OA+OB，是否存在这样的直线L,使得四边形OAPB是矩形？
若存在，求出直线L的方程；若不存在，是说明理由。

(1)a=(xi+yj)-(0i-2j)=OM~-OA~=m-c.(c=0i-2j)
.. b=(xi+yj)-(0i+2j)=OM~-OB~=m-d.(d=0i+2j)
|a|+|b|=8
--->|m-c|+|m-d|=8
--->|OM~-OA~|+|OM~_OB~|=8
--->{MA|+|MB|=8.恰好完全符合:动点M到两个定点A,B的距离之和等于定植的椭圆的定义.特别的:2a=8;2c=2-(-2)=4.--->b^2=4^2-2^2=12.
由定点对应的向量c=0i-2j;d=0i+2j,得知焦点应在y轴上.
由此得到轨迹方程:x^2/12+y^2/16=1.(*)
(2)似乎应该是OP~=OA~+OB~.(否则两边之和等于第三边---对角线,就不需要计算了)
直线L的方程是y=kx+3(**).
由方程(*)(**)消去y,得到(3k^2+4)x^2+18kx-21=0(***)
x1+x2=-18k/(3k^2+4);x1x2=-21/(3k^2+4)
y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k^2*x1x2+3k(x1+x2)+9
=k^2*(-21)/(3k^2+4)+3k(-18k)/(3k^2+4)+9
=(-48k^2+36)/(3k^2+4)
x1x2+y1y2=(-48k^2+15)/(3k^2+4)
依题意,应有OA~垂直于OB~
--->k(OA)*k(OB)=-1--->y1/x1*y2/x2=-1--->x1x2+y1y2=0
--->-48k^2+15=0
--->k^2=5/16
--->k=+'-(5^0.5)/2
所以直线L的方程存在,就是y=+'-(5^.5)/2*x+3