A、B、C是三角形ABC的三个内角。
求y=cotA+cotB+cotC的最小值。

谢谢

解：先证一个常用的恒等式：cotA*cotB+cotB*cotC+cotC*cotA=1
cotA*cotB+cotB*cotC+cotC*cotA
=(cosA*cosB)/(sinA*sinB)+(cosC*cosB)/(sinC*sinB)
+(cosA*cosC)/(sinA*sinC)
=(cosA*cosB*sinC+cosC*cosB*sinA+cosA*cosC*sinB)/sinA
*sinB*sinC
=[cosA(cosB*sinC+cosC*sinB)+cosC*cosB*sinA)]/sinA*sinB*sinC
=(cosA*sin(B+C)+cosC*cosB*sinA)/sinA*sinB*sinC
=(cosA*sinA+cosC*cosB*sinA)/sinA*sinB*sinC
=(-cos(B+C)+cosC*cosB)/sinB*sinC
=(-cosC*cosB+sinB*sinC+cosC*cosB)/sinB*sinC
=1(此恒等式亦即tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC)
[(cotA-cotB)^2+(cotB-cotC)^2+(cotC-cotA)^2]/2≥0
(cotA+cotB+cotC)^2-3(cotA*cotB+cotB*cotC+cotC*cotA)≥0
即(cotA+cotB+cotC)^2≥3(cotA*cotB+cotB*cotC+cotC*cotA)
由那个恒等式知
y=cotA+cotB+cotC≥√3，当且仅当“A=B=C”时取到最小值。