已知函数f(x)的二阶导数连续,f'(0)=0,
f(x)=1+(1/3)*$(x,0)[6t*e^(-t)-2f(t)-f''(t)]dt
,求f(x)

解：令x=0代入方程，得f(0)=1
令y=f(x)，方程两边对x求导并化简得：y"+3y'+2y=6xe^(-x)
特征方程为s^2+3s+2=0，有两个不同的实数根s=-1,s=-2
所以该方程的齐次方程通解为yL=C1e^(-x)+C2e^(-2x)
右侧函数6xe^(-x)与通解二次相关，故设它的一个特解为
yT=(ax^2+bx)e^(-x)代入原方程，解得：a=3,b=-6
所以yT=(3x^2-6x)e^(-x)
所以y=yL+yT=C1e^(-x)+C2e^(-2x)+(3x^2-6x)e^(-x)
代入初始条件f(0)=1，f'(0)=0得C1=8,C2=-7
所以f(x)=(3x^2-6x+8)e^(-x)-7e^(-2x)