已知:如图,在三角形ABC中,AD垂直BC,角B等于角C的两倍.
求证:AB+BD=CD

证1：向左方向做BC的延长线,在延长线上有一点E,可以得AB=BE, 则△ABE和△AEC都是等腰三角形,AD也是△AEC底边上的高,于是CD=ED,而ED=BE+BD=AB+BD,所以AB+BD=CD,

2：已知AD⊥BC，在RT△ACD和RT△ABD中，
AD=CD*tanC=BD*tanB=BD*2tanC/[1-（tanC）^2]
CD=2BD/[1-（tanC）^2]
（tanC）^2=（CD-2BD）/CD
AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+（CD*tanC）^2
=BD^2+CD^2*（CD-2BD）/CD
=BD^2+CD*（CD-2BD）
即AB^2=BD^2+CD^2-2BD*CD......(1)

∵AB^2=BD^2+AB^2+BD^2+2AB*BD-2*AB*BD-2BD^2
∴AB^2=BD^2+（AB+BD）^2-2*BD*（AB+BD）......(2)
由(1)、(2),得
（AB+BD）^2-2*BD*（AB+BD）=CD^2-2BD*CD
∴（AB+BD）^2-CD^2=2*BD*（AB+BD）-2BD*CD
∴（AB+BD+CD）*（AB+BD-CD）=2*BD*（AB+BD-CD）
∴（AB+BD+CD）*（AB+BD-CD）-2*BD*（AB+BD-CD）=0
∴（AB+BD-CD）*（AB+BD+CD-2BD）=0
∴（AB+BD-CD）*（AB+CD-BD）=0
但∵∠B=2∠C
∴CD>BD,（AB+CD-BD）>0
∴AB+BD-CD=0
∴AB+BD=CD