问题: 数学
已知x.y.z的倒数成等差数列,求证:y+z/x.x+z/y.x+y/z也成等差数列
解答:
X,Y,Z倒数成等差数列,即有: 2/Y=1/X+1/Z
简化得 2/Y=(X+Z)/XZ 即
下面证明 (y+z)/x+(x+y)/z=2(x+z)/y
简化得 2(x+z)/y=(YZ+ZZ+XX+XY)/XZ
再简化 2XZ(X+Z)=YYZ+YZZ+XXY+XYY
因为 2XZ=Y(X+Z)
所以 Y(X+Z)(X+Z)=YYZ+YZZ+XXY+XYY
简化 XXY+2XYZ+YZZ=YYZ+YZZ+XXY+XYY
消去相同的项 得 2XYZ=YYZ+XYY
因为 2XZ=Y(X+Z) 所以 得YY(X+Z)=YYZ+XYY
即证 YYX+YYZ=YYZ+XYY
这显然是相等的
即证
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