问题: 充要条件
函数f(x)=x/x+a/+b是奇函数的充要条件是?
解答:
解：
必要条件：
令 f(-x)=-f(x),且设a≥0
-x|-x+a|+b=-(x|x+a|+b)
x(|x+a|-|x-a|)+2b=0
(1)x＜-a时,有
x[-(x+a)+(x-a)]+2b=0
-2ax+2b=0
a=0,b=0
(2)-a≤x＜a时,有
x[(x+a)+(x-a)]+2b=0
-2x^2+2b=0
无解
(3)x≥a时,有
x[(x+a)-(x-a)]+2b=0
-2ax^2+2b=0
a=0,b=0
故必要条件为：a=0,b=0
充分条件：
设 a=0, b=0
f(x)=x|x+a|+b=x|x|
f(-x)=-x|x|=- f(x)
故f(x)是奇函数
综上所述, 函数f(x)=x|x+a|+b的奇函数的充要条件是(a=0,b=0
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