题目见图。其中PF1,PF2为向量。

解：设P点坐标(m,n)，则
PF1·PF2=(-c-m,-n)·(c-m,-n)=m²-c²+n²
而P在椭圆上，故n²=b²(1-m²/a²)，代入上式得
PF1·PF2=m²-c²+b²(1-m²/a²)
=(c²/a²)m²+a²-2c²
当m²=a²时，上式取得最大值，即a²-c²∈[c²,3c²]
解得1/2≤e≤√2/2
故椭圆C1的离心率e最小值为1/2，
此时a=2c，b=√3c
易得双曲线C2方程为：x²/c²-y²/3c²=1
|AF1|=3c为定值，当B取(2c,3c)时，|AB|=3c，λ=1
当B取其它符合题意的点时，|AB|≠3，故λ≠1，
所以不存在符合题意的常数λ。