已知点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-0.5.
1.求点M轨迹C的方程.
2.若过点D(2,0)的直线L与第1题中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在D,F之间),试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围(O为坐标原点).

1. 设M(x,y),Kam×Kbm=-0.5,(y+1)(y-1)/x²=-0.5, ∴ x²+2y²-2=0……点M轨迹C的方程.
2. 设E(x1,y1),F(x2,y2),直线L的方程:y=k(x-2),把它代入C的方程,得
(k²+2)x²-4k²x+4k²-2=0 ,自然x1+x2=4k²/(k²+2).
△ODE的面积=0.5×|OD|×|y1|=|y1|,△ODF的面积=0.5×|OD|×|y2|=|y2|, ∴ △ODE的面积/△ODF的面积=t=|y1/y2|=y1/y2=(x1-2)/(x2-2)(∵y1,y2同号), ∴ x1-2=t(x2-2), ∵ x1≠x2, ∴ t≠1.
E在D,F之间, ∴ x2<x1<2, x2-2<x1-2<0, 即x2-2<t(x2-2)<0,
∴ (t-1)(x2-2)>0且t(x2-2)<0, ∵ x2<√2 , ∴ x2-2<0, ∴ 0<t<1
即△ODE与△ODF面积之比的取值范围是(0,1)