问题: 数学
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
(1)判断函数f(x)的单调性,并给予证明
(2)若f(1)=1,f(x)≤m2-2bm+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围
解答:
(1)
设a>b,a+(-b)>0
f(a)+f(-b)/(a-b)>0,f(a)-f(b)>0,f(a)>f(b)
f(x)单调递增
(2)
f(1)=1
x∈[-1,1],f(x)单调递增,f(x)最大=1
m^2-2bm+1>=1
2mb-m^2<=0
令g(b)=2mb-m^2(看成关于b的一次函数)
b∈[-1,1],g(b)<=0恒成立
m=0,g(b)=0,成立
m>0,g(1)=2m-m^2<=0,m>=2
m<0,g(-1)=-2m-m^2<=0,m<=-2
m<=-2或m=0或m>=2
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