1) 解:定义域要求a^x-1>0, 即a^x>1, ∴ a>1时x>0, 0<a<1时,x<0,
∴ 定义域是{x|x>0,a>1或x<0,0<a<1}
2) f(x)在定义域上为增函数.证明如下:
a>1时,设0<x1<x2 , ∵ f(x1)-f(x2)=log(a)[a^(x1)-1]-log(a)[a^(x2)-1]=log(a)[a^(x1)-1]/[a^(x2)-1], ∵ a^(x1)<a^(x2),
∴ 0<[a^(x1)-1]/[a^(x2)-1]<1, ∴ log(a)[a^(x1)-1]/[a^(x2)-1]<0, 即f(x1)<f(x2), ∴ f(x)在(0,+∞)上是增函数;同理可证0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上是增函数, ∴ f(x)在定义域上为增函数.
3) 设y=log(a)(a^x-1), 则x=log(a)(a^y+1), ∴ 反函数 f(-1)(x)=log(a)(a^x+1). 而f(2x)=log(a)[a^(2x)-1], f(2x)=f(-1)(x),
∴ log(a)[a^(2x)-1]=log(a)[a^(x)+1], a^(2x)-1=a^(x)+1,
设a^x=t>0, 则t²-t-2=0, ∴ t=2,t=-1(∵ t>0,∴舍去t=-1),
由t=a^x=2, 得x=log(a)(2)
