问题: 数学
设函数y=f(x)的定义域为R+，对任意正数m.n，恒有f(m*n)=f(m)+f(n)，且当x>1时,f(x)<0
求证:f(1)=0,且当0<x<1时,f(x)>0
求证:f(m)-f(n)=f(m/n)
求证:f(x)在(0,+∞)内是减函数
解答:
f(m*n)=f(m)+f(n)
所以f(1*0)=f(1)+f(0)，
即 f(0)=f(1)+f(0)，
f(1)=0
0<x<1 则1/x >1 f(1/x) <0
f(1/x * x )=f(1/x)+f(x)
即f(1)=f(1/x)+f(x)
f(1/x)+f(x)＝0
因为f(1/x) <0
所以f(x)>0
证明:令m=1/n
因为f(m*n)=f(m)+f(n)
所以f(1)=f(1/n)+f(n)=0
所以f(1/n)=-f(n)
所以f(m/n)=f(m)+f(1/n)=f(m)-f(n)
证明:设0<x1<x2
因为f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在0,+∞)上是减函数
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
