已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影是H,如果→ → → →
PH×PH,PM×PN
分别是公比为2的等比数列的第三,第四项.
⑴求动点P的轨迹C的方程
⑵已知过点N的直线交曲线C于x轴下方两个不同的点A,B,设R为AB的中点,若过点R与定点Q(0,-2)的直线于点D(x0,0),求x0的取值范围.

(1) 设P(x,y),H(0,y),A(x1,y1), B(x2,y2),AB的中点M(x',y'),(→PH)*(→PH)=(-x,0)*(-x,0)=x^, (→PM)*(→PN)=(-2-x,-y)*(2-x,-y)=4-x^+y^.设等比数列的首项=a,则4a=x^, 8a=4-x^+y^.消去a,得3x^-y^=4......动点P的轨迹C的方程.
(2) 设AB的方程: y=k(x-2),把它代入轨迹C的方程,得
(3-k^)x^+4k^x-4k^-4=0, ∴ x'=(x1+x2)=2k^/(k^-3), y'=k(x'-2)=6k/(k^-3). 直线MQ的斜率m=(y'+2)/x'=(k^+3k-3)/(^k-3), MQ的方程为y=mx-2,另y=0,得x0=2/m=2k^/(k^+3k-3)=2/([-3(1/k)^+3(1/k)+1]…(*). ∵ MQ交曲线C于x轴下方两个不同的点A,B, ∴ y'<0, ∴ 6k/(k^-3)<0, k<-√3或0<k<√3, ∴ 0>1/k>-1/√3或1/k>1/√3.
设f(1/k)=-3(1/k)^+3(1/k)+1它的对称轴1/k=1/2,当1/k∈(-1/√3,0)时,f(1/k)在(-1/√3,0)上是增函数, ∴ f(1/k)>f(-1/2)=-5/4,且f(1/k)<f(0)=1, ∴ x0<-8/5<0或x0>2;
当x0∈(1/√3,+∞)时, f(1/k)在(1/√3,+∞)上是减函数, ∴ f(1/k)<f(1/√3)=√3, ∴ x0>2√3/3
综上所述,x0∈(-∞,-8/5)∪(2,+∞)