问题: 解析几何题013
已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2√2,记动点P的轨迹是W.
(1)求W的方程; (W的方程已求出: x^2-y^2=2)
(2)若A,B是W上不同两点,O是坐标原点,求向量OA*OB的最小值.
解答:
(2)其最小值为2.
可设A(X1,Y1),B(X2,Y2);
W方程应为x^2-y^2=2(x>0);
向量OA*OB=X1X2+Y1Y2;
令直线AB为y=ax+b(a情况)或x=m(b情况);
a情况:
x^2-(ax+b)^2=2;
(a^2-1)x^2+2abx+b^2+2=0;
因此X1X2=(b^2+2)/(a^2-1)>0;
X1+X2=-2ab/(a^2-1)>0;
delta=4a^2b^2-4(a^2-1)(b^2+2);
a^2-1>0,ab<0,b^2>2(a^2-1);
Y1Y2=a^2X1X2+ab(X1+X2)+b^2;
X1X2+Y1Y2
=(a^2+1)X1X2+ab(X1+X2)+b^2
=(a^2+1)(b^2+2)/(a^2-1)+(-2a^2b^2)/(a^2-1)+b^2
=2+4/(a^2-1)>2;
b情况:
A,B分别为(m,(m^2-2)^(1/2)),(m,-(m^2-2)^(1/2));
所以
X1X2+Y1Y2=2;
所以OA*OB最小值为2.
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