曲线ABC满足什么条件时候，小球下落时间最短？（其他条件不变）

同意楼上的
以A为原点,向下为y轴正方向,射轨迹与水平面夹角为α,则有n(y)*cosα=const,
y处速率为Vy,有Vy=c/n(y),既有cosα y=const
在y处,质点有速度Vy=√2gy,由类比有cosα/√y=const,
又cosα=1/√(1+y'2),其中y'=dy ,由此得y(1+y'2)=A(常量)
引入参量β,使y=Asin2β,代入上式有1+y'2=1/sin2β,y'2=1/sin2β-1=cot2β,y'=cotβ
另外有y'=dy =dy/dβ*dβ =2Asinβcosβ*dβ ,
由上面两式得dx=2Asin2βdβ
初始十x=0,y=0,有β=0,把上式积分得x=∫2Asin2βdβ=Aβ-Asin2β/2=A/2*(2β-sin2β)
引入新参量R=A/2,φ=2β,得质点在重力场中最快下降路线的参量表达式为
x=R(φ-Sinφ)
y=R(1-Cosφ)

可见,最快下降路线是一条滚轮线.