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问题: △ABC中,cosB为sinA,sinC的等比中项,sinB为cosA,cosC的等差中项,则∠B等于多少

解答:

一个简单的方法
由题
cosB^2=sinA*sinC
2sinB=cosA+cosC
由余弦定理:cosB=(sinA^2+sinC^2-sinB^2)/(2sinA*sinc)
cosB=(sinA^2+sinC^2-sinB^2)/(2cosB^2)
sinA^2+sinC^2=2cosB^3+sinB^2
因为2sinB=cosA+cosC所以有4sinB^2=cosA^2+cosC^2+2cosA*cosC
代入sinA^2+sinC^2=2cosB^3+sinB^2有
5/2sinB^2=1-cosB^3+cosA*cosC
-cosB=cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=5/2sinB^2-1+cosB^3-cosB^2
整理,全部转成cosB形式
2cosB^3-7cosB^2+2cosB+3=0
因式分解
(cosB-3)*(2cosB+1)*(cosB-1)=0
cosB=3,1,-1/2(舍去cosB=3,1)
cosB=-1/2
所以cosB=120°



参考文献:个人成果