1。已知中心在坐标原点，对称轴是坐标轴的双曲线M的一条准线方程为x=1，切两条渐进线与虚轴的夹角为60度

(1)求双曲线M的标准方程

(2)已知圆C过双曲线M的左顶点，右焦点，且圆心在直线x+y-5=0上，求圆C的方程


2。已知抛物线方程y^2=px（p>0)点A坐标为(1,0)，直线L:x+y=m与X轴的交点在抛物线准线的右侧

(1)求证直线L与抛物线有两个交点

(2)设直线L与抛物线交于Q，R两点，若 AR⊥AQ，且点A到直线L的距离为√2/2（二分之根号二），求抛物线的方程


3.椭圆C的中心在坐标原点，直线L:√5x+2y-√5=0交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，且AM=2MB。求椭圆C长轴的取值范围。

1. (1) 准线方程为x=a^/c=1, ∴ c^=a^4…①, 设双曲线M的方程:x^/a^-y^/b^=1,两条渐进线y=bx/a的夹角(含虚轴)为60°,则渐进线y=bx/a的倾斜角=60°, ∴ b/a=tan30°=√3, ∴ b^=3a^…②, 又c^=a^+b^…③, 有①,②③解得a^=4, b^=12, ∴ 双曲线M的标准方程为 x^/4-y^/12=1
(2) 左顶点A1(-2，0), 右焦点F2(4,0), 圆心C(a,5+a), 设圆C的方程(x-a)^+(y-5-a)^=r^, 则(-2-a)^+(0-5-a)^=r^, (4-a)^+(0-5-a)^=r^, 解得a=1, r^=45, ∴ 圆C的方程(x-1)^+(y-6)^=45
2. (1) 直线L:x+y=m与X轴的交点(m,0),它在准线x=-p/4的右侧,
∴ m>-p/4,即p+4m>0. 把y=-x-m代入y^=px,得y^+py-mp=0…(*), 判别式△=p(p+4m)>0, 方程(*)有两个不等实根y1,y2,从而由x=y-m得x1=y1-m,x2=y2-m.∴ 直线L与抛物线有两个交点(x1,y1),(x2,y2).
(2) 设L: x=ky+b,把它代入抛物线方程,得y^-pky-bp=0, R(x1,y1),Q(x2,y2),则
y1+y2=pk, y1y2=-bp, x1x2=k^y1y2+bk(y1+y2)+b^ ,x1+x2=k(y1+y2)+2b. ∵ AR⊥AQ
∴ (x1-1)(x2-1)+y1y2=0, 即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0, ∴ k^y1y2+bk(y1+y2)+b^-k(y1+y2)-2b+1+y1y2=0, 即(k^+1)(-bp)+(b-1)pk^+(b-1)^=0…①,点A到直线L的距离|1-b|/√(1+k^)=√2/2<===>1+k^=2(b-1)^…②, 由①,②解得k=,b=(自己解一下吧)
3. 思路: 设椭圆C: b^x^+a^y^-a^b^=0与y=-√5((x-1)/2解得
(5a^+4b^)x^-10a^x+5a^-4a^b^=0, A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0)
x1+x2=a^/(5a^+4b^)…①, x1x2=(5a^-4a^b^)/(5a^+4b^)…②, 设AM/BM=λ=2
则由定比分点公式(x1+2x2)/3=1,(y1+2y2)/3=0, 即x1=3-2x2,代入①,②消去x1,b, 利用-a≤x2≤a得出一个关于a的不等式,即可求出a及2a的取值范围(等我有时间,可祥解)。