问题: 函数的综合运用
已知一次函数y=2x的图像与反比例函数y=k/x的图像交于M和N两点,且MN=2根号5(根号不会表达,请见谅)
1求反比例函数的解析式;
2若抛物线y=ax2+bx+c经过M和N两点,证明:这条抛物线与x轴一定有两个交点。
3设(2)中的抛物线与x轴的两个交点A和B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC和BC,若tan角CAB+tan角CBA=3,求抛物线的解析式。
解答:
已知一次函数y=2x的图像与反比例函数y=k/x的图像交于M和N两点,且MN=2√5。 1求反比例函数的解析式;
解: ∵y=2x的图像与y=k/x的图像交于M和N两点
∴M,N关于坐标原点对称。 且M,N在上y=2x
∴M(u,2u)。 N(-u,-2u) u>0
MN=√[(u+u)^+(2u+2u)^]=2u√5=2√5 u=1
M(1,2)。 N(-1,-2) M,N同时在y=k/x上
反比例函数y=k/x 2=k/1 k=2 y=2/x
(2)若抛物线y=ax^+bx+c经过M和N两点,证明:这条抛物线与x轴一定有两个交点。
1=4a+2b+c -1=4a-2b+c b=1/2 c=-4a
△=b^-4ac=(1/4)+16a^>0 ∴抛物线与x轴一定有两个交点。
3设(2)中的抛物线与x轴的两个交点A和B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC和BC,若tan角CAB+tan角CBA=3,求抛物线的解析式。
解: y=ax^+(x/2)-4a A(x1,0) B(x2,0)
x2>x1
x1+x2=-1/2a x1x2=-4 令x2>0 则x1<0
C(0,-4a)
tan∠CAB+tan∠CBA=|-4a|/|x1|+|-4a|/|x2|=3
[|x1|+|x2|]/|x1||x2|=3/(4|a|)
x2-x1=3/|a|
(x2-x1)=(3/|a|)^=(x1+x2)^-4x1x2
=(-1/2a)^+16
a^=35/(4×16)
a=±(√35)/8
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