如图所示的竖直平面内有范围足够大，水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ,MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P,M点在磁场边界线上，NMAP段光滑，PQ段粗糙。现有一质量为m，带电量为+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的3/4倍。现将小环从M点右侧的D点由静止释放，小环刚好能到达P点。

1.求DM间距离？

2.求上诉过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小？

3.若小环与PQ间动摩擦因数μ（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧4R处由静止释放，求小环整个过程中克服摩擦力所做的功？

解：1.小环刚好到达P，则说明小球到达P时速度刚好为0,没有动能，而小环在M时的电势能和在P时的电势能是相等的（M和P等势），又因为NMAP段是光滑的，没有能量损失，过程只有电势能转化成为重力势能，设DM=L，根据能量守恒：EqL=mg(2R)，又因为小环所受电场力为重力的3/4倍，即Eq=mg*3/4,所以得：L=8R/3

2.设小环第一次通过A时的速度为V，同样根据能量守恒：
Eq(L+R)=mgR+0.5mV^2 （注：^ 号表示次方）
得V＝（7Rg／2）^0.5，方向垂直向上， 这时，对小环进行受力分析，水平向左的力有：洛仑兹力qVB，电场力Eq，水平向右的力有：半环对小环的作用力N。垂直方向，只受到向下的重力作用。因为小环在水平方向没有速度，受力平衡：qVB+Eq=N，把V式代入得：
N=qB（7Rg／2）^0.5+3mg/4
所以小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力N为qB（7Rg／2）^0.5+3mg/4。

3.将小环移至M点右侧4R处由静止释放，因为4R>L＝DM，所以小环到达P时速度不为0,可以滑动到达PQ上，直到因为摩擦力而停下来。小环在NMAP段运动时同样没有能量损失，设小环在PQ段上距离P的距离为S处停了下来，则根据能量守恒（系统包括摩擦力做的功）：
Eq(4R-S)=mg*2R+μmgS (注：在S上，电场力做负功）
得S＝R/（3/4+μ)=R/(0.75+μ)，
以下分两种情况：
（1）若μ>3/4，即摩擦力大于电场力，则小环不会再动，则小环克服摩擦力做功为
W=fS=μmgS=μmgR/(0.75+μ)
（2）若μ<3/4,即摩擦力小于电场力，则小环刚停下来，又会在电场力的作用下倒退回半环段，有可能还会再滑回MN段，但由于能量损失，不会再回到原来的起点4R处，在电场力作用下又减速到停下，然后再次重复整个过程，直到小环不能滑上PQ段，最后，小环就会在光滑的NMAP段内来回“振动”。因为在第1问中解得小环刚好到达P的L＝8R/3,而现在是从4R处释放，比第1问中的初始距离长了4R-8R/3=4R/3,即电势能多了W1=Eq(4R/3),只要把这部分能量全部消耗在摩擦上之后，则小环就不会再滑上PQ段了，所以最终小环克服摩擦力做的功为
W'=Eq(4R/3)=mgR