1.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为√15（根号15），求抛物线方程

2。在直线L:x-y+9=0上任取一点M，过M做以F1(-3,0)，F2(3,0)为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所做的椭圆长轴最短？并求出椭圆方程


3。求椭圆x^2+y^2/4=1的一组斜率为2的中点的轨迹方程

4。若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L:x+y=1在第一象限有两个不同的交点，求a，b所满足的条件

1,3题如楼上。
2. 即求M到F1,F2的距离之和最短.
F1与F1'关于直线对称,则F1'(-9,6), ∵ |MF1|+|MMF2|=|MF1'|+|MF2|≥|F1'F2|=6√5,当且仅当F1',F2,M三点共线时取"="号,此时F1'F2的方程为
x=3-2y与x-y+9=0解得M(-5,4)
∴ 2a=|F1'F2|, ∴ a=3√5, c=3,∴ b^=45-9=36,
∴ 椭圆方程为x^/45+y^/36=1/
4. 由椭圆x^/a^+y^/b^=1与直线L:x+y=1得
f(x)=(a^+b^)x^-2a^x+a^(1-b^)=0…(*), ∴ x1+x2=2a^/(a^+b^),x1x2=a^(1-b^)/(a^+b^).在第一象限有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 需满足判别式△>0,x1+x2>0,x1x2>0…①且y1+y2>0,y1y2>0…②
有①可得a^+b^>1, 0<b<1.
而y1+y2=2-(x1+x2)=2b^/(a^+b^), y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=b^(1-a^)/(a^+b^), ∴ 由②得0<a<1
综上所述,a，b所满足的条件是a^+b^>1, 0<b<a<1.