问题: 两道数学题求助
抛物线y=ax^2+bx+c沿x轴正方向移动1个单位，沿y轴负方向移动3个单位，得新抛物线方程为y=(c-1)x^2+(b-2)x+(a-3),求a,b,c的值
已知与曲线C:x^2+y^2-2x+1=0相切的直线L交x,y轴与A,B两点，O为原点，|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2)，求△AOB面积的最小值
解答:
1. ∵ a(x-1)^+b(x-1)+c-3=(c-1)x^+(b-2)x+(a-3),即
ax^+(b-2a)x+(a-b+c-3)=(c-1)x^+(b-2)x+(a-3), ∴
a=c-1, b-2a=b-2, a-b+c-3=a-3, 解得a=1,b=-2,c=2
2. 曲线C:(x-1)^+y^=R^, 切点Q(x0,y0),⊙C在Q处的切线AB的方程:(x0-1)(x-1)+y0y=R^,即 (x0-1)x+y0y-(x0-1)-R^=0,但AB的方程又是:x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0, ∴ a=y0,b=x0-1,△AOB的面积S=ab/2,
4S^=a^b^=(x0-1)^(y0)^=(x0-1)^[R^-(x0-1)^], 设(x0-1)^=t,则
t^-R^t-4S^=0, ∴ 判别式△=R^4-16S^≥0, ∴ S≤R^/4,即
△AOB面积的最小值为R^/4 (若取R=√2,则Smin=1/2)
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