直线y=x+1与双曲线C:(x^2)/2-(y^2)/(b^2)=1(b>0)恒有公共点。

1.求双曲线C的离心率e的取值范围。
2.若直线L:y=x+m(m为任意实数）过双曲线的右焦点F，与双曲线交于P、Q两点，并且满足向量FP=1/5向量FQ,求双曲线C的方程。

1. 把y=x+m代入x²/2-y²/b²=1,得(b²-2)x²-4x-2(b²+1)=0,由判别式△=8b²(b²-1)≥0, ∴ b²≥1, e²=c²/a²=(b²/2)+1)≥3/2, e≥√6/2,
∴ 离心率e的取值范围是[√6/2,+∞)
2. 直线L:y=x+m过双曲线的右焦点F(c,0), ∴ c=-m, 把y=x-c代入x²/2-y²/b²=1,得(2-b²)x²-4cx+4(b²+1)=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1+x2=4c/(2-b²)…①, x1x2=4(b²+1)/(2-b²)…②. ∵ 向量FP=1/5向量FQ, ∴ (x1-c,y1)=(x2-c,y2)/5, ∴ x2=5x1-4c,
把它代入①,②,得x1=2(3-b²)/[3(2-b²)]…③,
x1x2=5(x1)²-4cx1=4(b²+1)/(2-b²)…④
把③代入④,整理得(b^4)(b²-7)=0, ∴ b²=7
∴ 双曲线C的方程是x²/2-y²/7=1.