已知点G是三角形ABC的重心，A（0,-1),B(O,1),在x轴上有一点M满足|向量MA|＝|向量MC|， 向量GM＝a*向量AB.

1.求点C的轨迹方程。
2.若斜率为k的直线与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足|向量AP|=|向量AQ|，试求k的取值范围。

1）
设 C (x,y),
则重心G 为 （x/3, y/3);
令 M的坐标为 （m, 0）;
|MA|^2 = m^2+1;
|MC|^2 = (x-m)^2 + y^2;
|MA| = |MC|, 得 m^2+1 = (x-m)^2 + y^2 (1);

向量GM＝a*向量AB, GM 平行于AB， 故 m = x/3, 代入 （1）;
x^2/9 +1 = 4x^2/9 + y^2;
x^2/3 + y^2 = 1;
为保证 ABC 能组成三角形， x<>0，(x=0, C与A或B重合)；
故 点C的轨迹方程
x^2/3 + y^2 = 1， x<>0;

2)设 P、Q为不同的点，其坐标为(xp,yp),(xq,yq), xp<>xq;
由斜率定义： k = (yp-yq)/(xp-xq);

P,Q在椭圆上;
则有:
xp^2/3 + yp^2 = 1;
xq^2/3 + yq^2 = 1;
两式相减：
(xp-xq)(xp+xq)/3 + (yp-yq)(yp+yq) = 0;
k = (yp-yq)/(xp-xq) = -(xp+xq)/(yp+yq)/3;

另外 由|AP| = |AQ|;
|AP|^2 = xp^2 + (yp+1)^2;
|AQ|^2 = xq^2 + (yq+1)^2;
也用两式相减：
(xp-xq)(xp+xq)+(yp-yq)(yp+yq+2) = 0;
k = (yp-yq)/(xp-xq) = -(xp+xq)/(yp+yq+2);

比较两种方式计算的k,
可得： yp+yq = 1;
xp+xq = -3k;

P, Q在椭圆上，其中点必在椭圆内，
其中点坐标为：((xp+xq)/2, (yp+yq)/2) = (-3k/2, 1/2);
即
(-3k/2)^2/3 + (1/2)^2 <1;
整理得：
k^2 < 1;
故 -1<k<1.