几道数学题


1 椭圆 C 的中心为坐标原点O, 焦点在y 轴上,离心率 e=(根号2)/2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1-e ,直线L 与y轴交于 点P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点A,B, 且AP= n PB.

(1)求椭圆方程
(2) 若 OA + n OB = 4 OP ,求m的取值范围.




2 已知梯形ABCD中,AD平行BC,角ABC=角BAD=90度, AB=BC=2AD=4, E,F分别是AB,CD上的点, EF平行BC,
AE=x,G是BC上的中点.沿EF将梯形ABCD翻折, 使平面AEFD垂直平面EBCF.

(1)若以F,B,C,D为顶点的三棱锥的体积记为 f(x),求f(x)的最大值:
(2)当f(x)取得最大值时,求二面角 D-BF-C的余弦值.



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1. a-c=1-(c/a), c/a=1/√2， ∴ a=1,b²=1/2，∴ 椭圆方程为
x²-2y²=1
2. 由向量AP=nPB---->向量(OP-OA)=n(OB-OP)与OA+nOB =4OP,得n=3,设A(x1,y1),B(x2,y2), 向量OP=(0,m),向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2),得y1+3y2=4m.设AB的方程:x=n(y-m),把它代入x²-2y²=1,消去x,可得
(k²-2)y-2mk²y+m²k²-1=0…(*),y1+y2=2mk²/(k²-2) 代入(y1+y2)+2y2=4m,得y2=(mk²-4)/(k²-2),
∵ |y2|≤1/√2, ∴ √2|mk²-4|/|k²-2|≤1, 由(*)式的判别式△>0,得k²>2/3, 从而解得m∈(-∞,-√2/5]∪[-√2/4,√2/4]∪[√2/5,+∞)
注: 运算量太大,可能有误,你不妨在算一下.