在等差数列{an}中 a>0 Sm=Sk (m≠k) n为何值时 Sn最大

解：∵Sm=ma1+m(m-1)d/2
Sk=ka1+k(k-1)d/2
Sm=Sk,故ma1+m(m-1)d/2=ka1+k(k-1)d/2
解之,得d=2a1/[1-(m+k)]＜0(∵a1＞0,1＜m+k)
于是由an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)[2a1/(1-m-k)]
=[1-m-k+2(n-1)]a1/(1-m-k)
=(2n-m-k-1)a1/(1-m-k)
=[2(n-1)+1-m-k]a1/(1-m-k)
=[2(n-1)/(1-m-k)+1]a1≥0
用a1＞0乘两边,并移项,即得 2(n-1)/(1-m-k)≥-1
由于1-m-k＜0,故去分母后不等号要反向,得
2(n-1)≤-(1-m-k)=m+k-1
即n≤(m+k-1)/2+1=(m+k+1)/2.
∴当n=[(m+k+1)/2]时,Sn最大.其中[(m+k+1)/2]表示(m+k+1)/2
的整数部分.
※举例:如求出(m+k+1)/2=9.5,那么要取n=9,即从a1到a9都是正项,
而从第10项a10开始(含a10),往后都是负项.∴S9最大.
※例:已知a1=10,S3=S8=24,问n为何值时Sn最大?
解:m=3,k=8,故n=[(3+8+1)/2]=6.即S6最大.
事实上,d=2a1/[1-(m+k)]=2*10/[1-(3+8)]=20/(-10)=-2.
a6=10+5×(-2)=0.
a7=10+6×(-2)=-2.