问题: 椭圆有周长公式吗?
椭圆和圆一样是简单闭曲线,也是光滑曲线,可是圆有周长公式,椭圆为何没有呢?从理论上说,光滑曲线或分段光滑曲线都是可求长的!简单闭曲线未必都可求长!那么椭圆周长公式到底是怎样的?
解答:
椭圆是可以求长的,我们可以它椭圆的周长表示成一个定积分,但是我们却无法准确地求出椭圆的周长,因为求椭圆周长的定积分是“积不出来”的。
那么为什么圆的周长我们却可以准确地表示出来呢?也许很多人会有这样的疑问,因为从曲线的形态说,两者之间似乎并没有什么本质的差别,如你所说,两者都是光滑曲线。这是为什么呢?
原因十分简单,因为我们引入了超越数π,如果没有这个数π,圆的周长我们也是没有办法准确表示的!
所有的光滑曲线都是可以求长的,但有非常非常多的可求长的曲线我们却求不出长度来,例如y=sinx一个周期的长度也是求不出来的,包括椭圆的周长。要准确地表示椭圆的周长需要引入新的超越数,大概因为没有必要吧,人们并这样做。
现在数学上使用的超越数只有两个:圆周率π与自然对数的底e,其它的无理数都是代数数——解代数方程的时候产生的无理数。
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