数列{a(n)}（n∈Z+）满足：对任何n，①a(n)≥a(n+1)≥0，②n*a(n)≤A。
求证：对于任何n∈Z+，对任意x∈R，|a(1)sin(x)+a(2)sin(2x)+...+a(n)sin(nx)|≤A*(pi+1)
pi就是圆周率

1.
设f(x)=a(1)sin(x)+a(2)sin(2x)+...+a(n)sin(nx)
==>
由于f(x+2π)=f(x),f(2π-x)=-f(x).
所以只要证明,当0≤x≤π时,|f(x)|≤A(π+1).

2.
当0≤x≤π时
sin(sx)+...+sin(nx)=
=sin[(n-s+1)x/2]sin[(n+s)x/2]/sin[x/2]
==>
|sin(sx)+...+sin(nx)|≤1/sin[x/2]
而x/π≤sin[x/2]
==>
|sin(sx)+...+sin(nx)|≤π/x.

3.
取tx≤π≤(t+1)x,S(k)=sin[(t+1)x]+...+sin(kx)
==>
|f(x)|≤|a(1)sin(x)+...+a(t)sin(tx)|+
+|a(t+1)sin[(t+1)x]+...+a(n)sin(nx)|≤
≤a(1)|sin(x)|+...+a(t)|sin(tx)|+
+|a(t+1)S(t+1)+a(t+2)[S(t+2)-S(t+1)]+...+
+a(n-1)[S(n-1)-S(n-2)+a(n)[S(n)-S(n-1)|≤
≤[a(1)+...+ta(t)]x+
+|[a(t+1)-a(t+2)]S(t+1)+...+
+[a(n-1)-a(n)]S(n-1)+a(n)S(n)|≤
≤tAx+{[a(t+1)-a(t+2)]+...+[a(n-1)-a(n)]+a(n)}[π/x]=
=tAx+a(t+1)[π/x]≤πA+A[π/(t+1)x]≤(π+1)A.