问题: 有关于抛物线
如图所示, 抛物线y^2=4x的顶点为O, 点A 的坐标为(5,0), 倾斜角为π/4 的直线l 与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M, N两点, 求△AMN面积最大时直线l 的方程, 并求△AMN的最大面积.
解答:
直线L与线段OA交于点P(k,0), (0<k<5)
AP=5-k, M(x1,y1), N(x2,y2), 直线L: x=y+k
y2=4x=4(y+k)
==> |y1-y2| =根号[(y1+y2)^2-4y1y2] =4*根号(k+1)
△AMN面积 =△APM面积+△APN面积
= |y1*AP|/2 +|y2*AP|/2 = (5-k)|y1-y2|/2
= 2*(5-k)根号(k+1)
= 4*根号{(k+1)[(5-k)/2][(5-k)/2]}
<= 4*根号<{[(k+1) +(5-k)/2 +(5-k)/2]/3}^3>
= 8*根号2，等号成立时：k+1 =(5-k)/2 ==> k=1
因此：△AMN面积最大时，直线L为：x=y+1
最大面积 =8*根号2
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