问题: 数学椭圆的问题
1\过椭圆左焦点F且倾斜角为60度的直线交椭圆于A,B两点,若FA=2FB,则椭圆的离心率是?
解答:
过椭圆左焦点F且倾斜角为60度的直线交椭圆于A,B两点,若FA=2FB,则椭圆的离心率是?
椭圆：x²/a²+y²/b²=1
左焦点F(-c,0), 右焦点F'(c,0),
设：A(xA,yA),B(xB,yB)
令|FA|=4t, |FB|=2t--->xA=2t-c, yA=2√3t，xB=-t-c，yB=-√3t
|FA|+|F'A|=|FB|+|F'B|=2a
--->|F'A|=√[(2t-2c)²+(2√3t)²] = 2a-4t
--->16t²-8ct+4c² = 4a²-16at+16t²
--->-2ct+c² = a²-4at
--->t = (a²-c²)/(4a-2c)
同理：|F'B|=√[(-t-2c)²+(-√3t)²] = 2a-2t
--->4t²+4ct+4c² = 4a²-8at+4t²
--->ct+c² = a²-2at
--->t = (a²-c²)/(2a+2c)
--->4a-2c = 2a+2c--->2a=4c--->离心率e=c/a=1/2
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