问题: 关于数学椭圆的问题
3\已知椭圆X的平方除以2+Y的平方=1的做焦点为F,O为坐标原点.
(1)求过点O,F,并且与椭圆的左准线L相切的圆的方程.
(2)设过点F的直线交椭圆于A,B两点,并且线段AB的重点在直线X+Y=0上,求直线AB的方程.
解答:
(1) ∵ 圆心C在OF的中垂线上,F(-1,0), ∴ 设C(-0.5,b), 它到左准线L:x=-2的距离3/2=半径, ∴ 圆的方程为(x+0.5)²+(y-b)²=9/4,⊙C过原点,
∴ (1/2)²+b²=9/4, ∴ b=±√2
∴ 圆的方程为(x+0.5)²+(y±√2)²=9/4
(2) 设AB的方程:x=my-0.5,把它代入x²/2+y²=1,得
4(m²+2)y²-4my-7=0, A(x1,y1),B(x2,y2), 中点M(x0,y0),则y0=(y1+y2)/2=m/(m²+2), x0=(x1+x2)/2=m(y1+y2)/2-(1/2)=-1/(m²+2), 中点M在直线x+y=0上, ∴ m/(m²2)-1/(m²+2)=0, ∴ m=1
∴ 直线AB的方程为2x+2y+1=0
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