问题: 椭圆
已知椭圆中心在坐标原点，一条准线方程为x=1，过椭圆左焦点F且倾斜角为45度的直线L交椭圆于A、B两点。
1、设M为线段AB的中点，当直线OM的斜率等于-1/3时，求椭圆方程。
2、当A、B分别位于第一、三象限时，求椭圆焦距的取值范围。
解答:
1. 准线方程为x=a²/c=1, ∴ a²=c，设椭圆方程为x²/c+y²/(c-c²)=1,
AB的方程y=x+c,把它代入椭圆方程,得(2-c)x²+2cx-c²(1-c)=0, A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则x0=(x1+x2)/2=c/(c-2), y0=x0+c=c(c-1)/(c-2), 由y0/x0=-1/3,得c=2/3, ∴ 椭圆方程为3x²/2+9y²/2=1
2. A、B分别位于第一、三象限时x1x2<0,且y1y2<0.
∴ c(2c-1)/(c-2)<0, 2(2-c)/(c-2)><0, 得0<c<1/2, ∴ 焦距2c∈（0，1）
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