已知正三棱锥的底面边长为a,棱长为b,
⑴求其内切球半径与外接球半径之比是多少?
⑵该三棱锥的外接球的表面积是多少?

解：借用曼丽的图，其实只要把PAM这个三角形吃透，这类题就没问题了。设O为内切球球心，O`为外接球球心，注意O与O`不一定重合。
(1)MO1=√3a/6，AO1=√3a/3
h=√[b²-(a/√3)²]=√[b²-(a²/3)]
h`=PM=√[b²-(a/2)²]=√[b²-(a²/4)]
由△PQO∽△PO1M，得
QO/MO1=PO/PM，即r/(√3a/6)=(h-r)/√[(b²-(a²/4)]
解得r=(√3a/6)√[b²-(a²/3)]/{(√3a/6)+√[(b²-(a²/4)]}
=[a√(3b²-a²)]/[√3a+3√(4b²-a²)]
在△O`O1A中，由勾股定理得
(h-R)²+(a/√3)²=R²
解得R=[h²+(a²/3)]/2h=√3b²/[2√(3b²-a²)]
r/R=2a(3b²-a²)/{3b²[a+√(12b²-3a²)]}
(2)S=4πR²=4π{3b^4/[4(3b²-a²)]}=3πb^4/(3b²-a²)