例文：彼は汚名を返上す（べく）、日夜努力を重なっている。「べく　の代わりに　ためでいいか、あるいは両方の区別はなんですか」

这句话的话，ため完全可以替代べく，两者的意思几乎没有什么差别，只不过是べく,更书面语，更用于正式的场合。
当然两个词都还有别的意思，不知道你这里的比较是指什么呢？

ため

１．その人、そのものの役に立つこと。利益（になること）。「耳に痛いが─になる話だ」「家族の─を思って我慢する」
__《「…の─に」の形で、用言に続けて》…に役立つように。…の利益になるように。「チームの─に頑張る」「後々の─に言っておくが、…」
２．《「…の─の」の形で、体言に続けて》…に役立つ。…を利する。…用の。「新聞小説の─の挿絵」「死者の─のミサ曲」
３．《「Aの─のA」の形で》Aだけを目的とする意。「芸術の─の芸術」「反対の─の反対」
４．《「…─に」の形で動詞連体形を、「…の─に」の形で体言を受けて、下の用言に続けて》__次に述べることの目的を表す。「生きる─に働く」｛目標達成の─に努力する｝

べく

〔雅語助動詞「べし」の連用形〕
(一)そうすることが当然であることを表わす。
「驚く―誤植の多い本／愛す―かつ敬すべきわれらの母親」
(二)そうすることを目的として何かを行うことを表わす。
「行く―〔＝には〕余りにも遠い／彼を見舞う―〔＝ために〕病院を訪れた」
(三)そう出来ることを表わす。
「当分望む―も無い」