问题: 高一数学
已知ｆ(x)=asin(x+∏/4)+3sin(x-∏/4)是偶函数,则a等于多少?
答案如下:
f(x)=asin(x+∏/4)+3sin(x-∏/4)=asin(x+∏/4)-3cos(x+∏/4)=根号下a平方加9sin(x+∏/4+&)
其中tan&=-3/a
以下是我看不懂的部分,请大家帮帮忙
因为f(x)为偶函数,所以∏/4+&=k∏+∏/2,(这里为什么可以相等?上面解出来是:根号下a平方加9sin(x+∏/4+&),sin是奇函数呀,可求的是偶函数)
所以&=k∏+∏/4,所以tan&=tan(k∏+∏/4)=-3/a,所以-3/a=1(这里为什么等于1而不是-1,或别的),a=-3
解答:
∵ ｆ(x)=asin(x+∏/4)-3cos(x+∏/4))=√(a²+9)sin(x+∏/4+Φ)(其中tanΦ=-3/a是偶函数
(注意:y=Asin(ωx+Φ)在一般情形既不是奇函数,也不是偶函数),
∴ √(a²+9)sin(x+π/4+Φ)-√(a²+9)sin(-x+∏/4+Φ)=0[∵f(x)=f(-x)],化积,得2√(a²+9)cos(π/4+Φ)sinx=0与x无关,
∴ cos(∏/4+Φ)=0,π/4+Φ=kπ+π/2, Φ=kπ+π/4,tanΦ=tan(kπ+π/4)=-3/a,即tan(π/4)=-3/a, ∴ 1=-3/a, ∴ a=-3
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