问题: 导数
已知函数f(x)=ax^4*In x+bx^4-c(x〉0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数
1.若对任意x〉0,不等式f(x)》-2c^2恒成立,求c的取值范围.
解答:
f'(x)=4ax^3*Inx+ax^3+4bx^3, f'(1)=a+4b=0…①,
f(1)=b-c=-3-c, ∴ b=-3把它代入①,得 a=12…②,
12x^4*Inx-3x^4≥-2c^2+c恒成立,只需-2c^2+c≤12x^4*Inx-3x^4的最小值
y=g(x)=12x^4*Inx-3x^4, y'=48x^3*Inx+12x^3-12x^3=48x^3*Inx=0, ∵x>0, ∴ x=1, y(min)=g(1)=-3, ∴ -2c^2+c≤-3, 2c^2-c-3≥0
∴ c∈[-1,3/2]
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