问题: 高数 (竞赛题1-高等数学)08\4\15
题见下
解答:
F(x)是f(x)的原函数，所以F'(x)=f(x)。 所以
F(x)dF(x)=arctan(sqrt(x))/[sqrt(x)*(1+x)]dx
两边积分，左边=F^2(x)/2,
右边通过两次积分变换，先是u=sqrt(x), 然后v=arctanu,因此不难算出 右边=(arctan x)^2+C
F(1)=sqrt{2}*pi/4 -->(1/2)* 2*pi^2/16=(pi/4)^2+C --->C=0
所以F(x)=sqrt{2}*arctanx
所以f(x)=F'(x)=根号{2}/(1+x^2)
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