问题: 高数(竞赛题2-高等数学)
题见下
解答:
一个介于g(x)<=y<=f(x)： a<=x<=b的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积是
V=pi*[f^(x)-g^(x)]的积分(x从a到b
在这个问题中， ax^2=1-x^2, 所以(1+a^2)x^2=1, A点的横坐标为 b=1/根号{1+a^2}. A点坐标为(b, ab^2),过O和A点的直线为
y=abx.
所以体积V=pi*[(abx)^2-(ax^2)^2]的积分(下限为0，上限为b)
=pi*[a^2b^2*b^3/3-a^2b^5/5]=pi*(2/15)*a^2b^5
现在来看上面时候a^2b^5最大。
a^2b^5=a^2/[(1+a^2)^(5/2)]。通过对a的求导，容易看出当a=根号{2/3}时候V最大。
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