过点M（2，1）作曲线x^2+4y^2=16的弦AB。若M为AB的三等分点。求AB的方程

过点M(2,1)作曲线x²+4y²=16的弦AB,若M为AB的三等分点。求AB的方程

设AB方程：k(y-1)=x-2--->x=ky-(k-2)
与椭圆方程联立：[ky-(k-2)]²+4y²=16
--->(k²+4)y²-2k(k-2)y+(k-2)²-16=0 ..........（*）
--->y1+y2=2k(k-2)/(k²+4)
M为AB的三等分点--->(2y1+y2)/(1+2)=1--->2y1+y2=3
--->y1=3-(y1+y2)=3-2k(k-2)/(k²+4)=(k²+4k+12)/(k²+4)

y1是方程(*)的根--->
(k²+4k+12)²/(k²+4)-2k(k-2)(k²+4k+12)/(k²+4)+(k-2)²-16=0
--->(k²+4k+12)[(k²+4k+12)-(2k²-4k)]+(k²-4k-12)(k²+4)=0
--->(k²+4k+12)[-k²+8k+12]+(k²-4k-12)(k²+4)=0
--->k²(-k²+8k+12)+(4k+12)(-k²+8k+12)+k²(k²+4)-(4k+12)(k²+4)=0
--->k²(8k+16)+(4k+12)(-2k²+8k+8)=0
--->k²(k+2)-(k+3)(k²-4k-4)=0
--->(k³+2k²)-(k³-k²-16k-12)=0
--->3k²+16k+12=0
--->k = (-8±2√7)/3
--->AB方程：x-ky+(k-2)=0,带入即可