问题: 高二数学题求助,大家快来,明早要交~
是否存在常数a,使函数f(x)={log2[(x+√(x²+2)]}-a为奇函数,同时使函数g(x)=x[1/(a^x-1)+a]为偶函数?并证明你的结论.
(注:f(x)={log2[(x+√(x²+2)]}-a中2为底数,[(x+√(x²+2)]为真数,(x²+2)全部在根号内)
解答:
若f(x)={log2[(x+√(x²+2)]}-a为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即
log2{[(x²+2)-x][(√(x²+2)+x]}-2a=0log2(2)=2a, ∴ a=1/2,此时
g(x)=x[1/(0.5^x-1)+0.5]=-x(2^x+1)/[2(2^x-1)],g(-x)=-x{1/[0.5^(-x)-1]+0.5}=]=-x(2^x+1)/[2(2^x-1)], ∴ g(x)=g(-x),即g(x)为偶函数.
∴ 存在常数a=1/2 ,使函数f(x 为奇函数,同时使函数g(x)为偶函数.
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