问题: 高二数学题求助,大家快来,明早要交~
已知定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.
1.求证:f(x)是奇函数.
2.求证:f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
3.解不等式:f(1-x)-f(x²-1)>f(2).
解答:
1.求证:f(x)是奇函数.
令x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0),
f(0)=0
令x=x,y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
,f(x)=-f(-x)
f(x)是奇函数.
2.求证:f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
任取X1<X2,X2-X1>0
f(x2-x1)>0
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1),
f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
所以f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
3.解不等式:f(1-x)-f(x²-1)>f(2).
f(1-x)-f(x²-1)>f(2).
-f(1+x)-f(x²-1)>f(2). f(x)是奇函数.
f(1+x)+f(x²-1)《-f(2).
f(x+x²)《-f(2).
-f(-x+x²)《-f(2).
f(-x+x²)》f(2).
f(x)在(-∞,+∞)上是减函数
-x+x²<2
x²-x-2<0
-1<x<2
解集：（-1，2）
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