问题: 高二数学题求助~
已知f(x)=log2x,当点M(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点N(x-2,ny)在函数y=Gn(x)的图象上运动(n∈N+).(注:f(x)=log2x中2为底数,x为真数)
1.求y=Gn(x)的表达式.
2.设Hn(x)={(0.5)^[Gn(x)]}-Gn(x),证明:Hn(x)为其定义域内的单调减函数.
解答:
已知f(x)=log2_x,当点M(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点N(x-2,ny)在函数y=Gn(x)的图象上运动(n∈N+)
（1）求y=Gn(x)的表达式.
（2）设Hn(x)={(0.5)^[Gn(x)]}-Gn(x),证明:Hn(x)为其定义域内的单调减函数
（1）M(x,y)在y=f(x)上---->y=log2_x
N(x-2,ny)在y=Gn(x)--->ny=Gn(x-2)--->nlog2_x=Gn(x-2)
--->Gn(x)=nlog2_(x+2)
（2）--->Gn(x)=log2_(x+2)^n--->2^[Gn(x)]=(x+2)^n
Hn(x) = {(0.5)^[Gn(x)]}-Gn(x)
= 1/(x+2)^n - nlog2_(x+2)
在定义域内取 -2＜x1＜x2--->0＜x1+2＜x2+2
∵n≥1--->1/(x1+2)^n＞1/(x2+2)^n
log2_(x1+2)＜log2_(x2+2)
--->Hn(x1)＞Hn(x2)--->Hn(x)为其定义域内的单调减函数
参考文献：(减函数)-(增函数)为 减函数
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