(1) 建立如图所示坐标系,相关点的坐标为:
C(0,0,0),A'(1,0,2),E(0.2,0.5,0),F(0,1,z)
向量CA'=(1,0,2), 向量EF=(-0.5,0.5,z), ∵ CA'⊥EF,
∴ 向量CA'*向量EF=0---->(1,0,2)*(-0.5,0.5,z)=0---->-0.5+2z=0,
∴ z=1/4,即BF=1/4时, CA'⊥EF.
∵ CE⊥AB, ∴ CE⊥面ABB'A', CE⊥A'E.要用到的线段的长度已由勾股定理求出示于图中. 由余弦定理可得cos∠A'EF=1/3, ∴ sin∠A'EF=2√2/3. ∴ △A'EF的面积=0.5×A'F×EF×sin∠A'EF=9√2/16,同理得
sin∠A'CF=2/√85. ∴ △A'CF的面积=9/8. 设二面角C-A'F-E的平面角为θ.
∵ △A'EF是△A'CF在面ABB'A'上的射影, 由面积射影定理,得
cosθ=△A'EF的面积/△A'CF的面积=√2/2, ∴ θ=45°
(2) 设点E到平面CA'F的距离为h,点C到平面A'EF的距离CE=√2/2.
∵ 三棱锥E-A'CF的体积=三棱锥C-A'EF的体积,
∴ △A'CF×h=△A'EF×CE---->9h/8=(2/√85)×(√2/2)
∴ h=8√170/765
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