a_(n+1)=a^2_n/[2(a_n-1)], a_1=3

(1)严格的证明需要用数学归纳法。
先证明a_n>2.
a_1=3>2.假设a_n>2,要证明a_(n+1)>2.
a_(n+1)-2=a^2_n/[2(a_n-1)]-2=(a^2_n-4a_n+4)/[2(a_n-1)]=(a_n-2)^2/[2(a_n-1)]>0.
由数学归纳法，a_n>2, n=1,2,3...

a_(n+1)-a_n=a^2_n/[2(a_n-1)] -a_n=a_n(2-a_n)/[2(a_n-1)]<0，
所以a_(n+1)<a_n
[严格的数学证明也需要归纳法。不过不用问题也不大。]

所以0<a_(n+1)<a_n.

(2) a_n=a^_(n-1)/[2(a_(n-1)-1)]=[(a^_(n-1)-1)+1]/[2(a_(n-1)-1)]=[a_(n-1)+1]/2+1/[[2(a_(n-1)-1)].
因为a_n>2，所以a_n=[a_(n-1)+1]/2+1/[[2(a_(n-1)-1)]<[a_(n-1)+1]/2+1/2=a_(n-1)/2+1。
所以
a_2<a_1/2+1
a_3<a_2/2+1
...
a_n<a_(n-1)/2+1
将上面(n-1)式子加起来,容易看到左边比S_n少了第一项，右边部分少了a_n，所以
S_n-a_1<(S_n-a_n)/2+(n-1)
2S_n-2a_1<S_n-a_n+2(n-1)
S_n<2a_1-a_n+2(n-1)
<6-2+2(n-1)
=2(n+1)