见下图

(1)。 acos^2(C/2)+ccos^2(A/2)=3b/2
--->a[1+cosC]/2+c[1+cosA]/2=3b/2
--->a+c+acosC+ccosA=3b。。。。(1)

现在看acosC+ccosA=a[a^2+b^2-c^2]/(2ab)+c[b^2+c^2-a^2]/(2bc)
=[a^2+b^2-c^2]/(2b)+[b^2+c^2-a^2]/(2b)
=[a^2+b^2-c^2+b^2+c^2-a^2]/(2b)=(2b^2)/(2b)=b

代入(1)， a+c=2b。所以a,b,c成等差数列。

(2) 不妨设a<b<c.设a=b-x, c=b+x. (x>0). a+b>c--> 2b-x>b+x, x<b/2.
cosB=[a^2+c^2-b^2]/(2ac)=[(b+x)^2+(b-x)^2-b^2]/[2(b+x)(b-x)]
=[b^2+2x^2]/[2(b^2-x^2)]=(-1)+[3b^2]/[2(b^2-x^2)].
对固定的b, x越大， cosB也越大；x越小， cosB也越小。
0<=x<=b/2
因此x=0时，
cosB>=(-1)+3/2=1/2， B<=60度。
如果x=b/2,
cosB<(-1)+2=1, B>0
所以0<B<=60度。