问题: F(X)=f(x)*(1+|sinx|)则f(0)=0是F(X)在 x=0处可导的什么条件
要有步骤啊 怎么算的
解答:
少了个条件，f`(0)存在。补上后是充要条件。
证明：若f(0)=0，则F(0)=f(0)=0
F`(0)=lim<h→0>[F(h)-F(0)]/(h-0)
=lim<h→0>[f(h)(1+|sinh|)]/h
=lim<h→0>f(h)/h
=lim<h→0>[f(h)-f(0)]/h
=f`(0)
即F(X)在x=0处可导；
若F(X)在x=0处可导，即
F`(0)=lim<h→0>[F(h)-F(0)]/(h-0)
=lim<h→0>[f(h)(1+|sinh|)-f(0)]/h
=lim<h→0>[f(h)-f(0)]/h+lim<h→0>[f(h)|sinh|]/h
=f`(0)+lim<h→0>[f(h)|sinh|]/h
因为F`(0)与f`(0)都存在，所以lim<h→0>[f(h)|sinh|]/h存在，
故lim<h→0>f(h)=0，即f(0)=0
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