函数f（x）对任意的a,b∈R，都有
f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1。
（1）求证:f(x)在R上是增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m^2-m-2)<3。请注明过程。

函数f（x）对任意的a,b∈R，都有
f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1。
（1）求证:f(x)在R上是增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m^2-m-2)<3。请注明过程。

(1) 设x1,x2∈R,x1<x2. 那么 x2-x1>0--->f(x2-x1)>1
所以f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1).f(x)在R上是增函数.

(2) f(4)=2f(2)-1=5-->f(2)=3
f(2)=2f(1)-1=3-->f(1)=2
f(0)=2f(0)_1-->f(0)=1.
f(5)=f(4)+f(1)-1=6,...
f(0)=f(-n)+f(n)-1=1--->f(-n)=2-f(n).
通过递推，或者数学归纳法，可以证明f(n)=n+1, n为任何整数。
另外f(1)=f(k/k)=f((k-1)/k)+f(1/k)-1=f((k-2)/k++2f(1/k)-2
=...=kf(1/k)-(k-1)
因此f(1/k)=(k+1)/k=1/k+1
f(p/k)=pf(1/k)-(p-1)
=p*(1+1/k)-(p-1)=p/k+1
所以对任何的有理数x, f(x)=x+1.函数是单调增加，因此对任何实数，f(x)=x+1.

f(3m^2-m-2)=(3m^2-m-2)+1<3--->
3m^2-m-4<0
(3m-4)(m+1)<0.
因此-1<m<4/3.

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：西门吹雪给出了更好的方法，本题本来应该这么做的。
前面已经得到了f(2)=3.f(3m^2-m-2)<3=f(2). 但我们已经知道f(x)是单调增加函数，所以3m^2-m-2<=2-->3m^2-m-4<=0
--> -1<m<4/3.